QUINTO SUPUESTO RESUELTO DEL 2º EJERCICIO DE LAS PRUEBAS DE ACCESO AL CUERPO SUPERIOR DE INSPECTORES DE HACIENDA DEL ESTADO, 8/1/2024

TEMA: RENTAS Y PRÉSTAMOS – MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Dificultad 2 de 5

ENUNCIADO

1. Un joven emprendedor decide aprovechar una parcela con árboles frutales perteneciente a su familia y desarrollar un negocio de fabricación y venta de mermeladas artesanales. Para ello toma la determinación de pedir un préstamo por importe de 5.000.000€, siendo prioritario para él disponer de un periodo de carencia de dos años, en los que no amortice principal ni pague intereses. 
La entidad bancaria a la que acude acepta esta petición y en cuanto al resto determinan que el préstamo se concederá a 7 años y se amortizará mediante cuotas anuales constantes, pospagables, estableciendo los siguientes tipos de interés: 3,5% de interés anual el primer año, 4% los dos siguientes, 4,25% los tres siguientes y 5% el último año. 

SE PIDE: 

a) Anualidad que amortiza el préstamo 

b) Intereses que deberá pagar el cuarto año 

c) Capital total amortizado hasta el final del quinto año 

2. Una empresa textil ha decidido ampliar su negocio para lo que precisa adquirir la maquinaria necesaria para su nueva línea de producción consistente en cuatro máquinas de coser cuyo precio unitario es de 100.000€, dos bobinadoras automáticas de 150.000€ cada una y una máquina para acabado de telas de 50.000€. 
El pago de las mismas se realizará del siguiente modo: 

• 15% al contado en el momento de recepción de la maquinaria 

• 12 pagos semestrales de 10.000€ el primero e incremento semestral de 2.000€ 

• 12 pagos mensuales con un semestre de carencia y un incremento semestral del 1% 

El interés del mercado aplicable es del 6% 

SE PIDE: 

Determinar el importe del segundo pago mensual.

SOLUCIÓN:    

Tipo de préstamo: francés, con una carencia total de 2 años, y tipo de interés variable.

a) Anualidad pospagable que amortiza el préstamo:

5.000.000 = a x (1,04)^(-2) x (1,035)^(-1)  +  a x a_3¬4,25% x (1,04)^(-2) x (1,035)^(-1)  +  a x (1,05)^(-1) x (1,0425)^(-3) x (1,04)^(-2) x (1,035)^(-1)  

5.000.000 = 0,89329a + 2,46725a + 0,75089a

a = 1.216.122,31€

CUADRO FINANCIERO QUE AMORTIZA EL PRÉSTAMO

FECHA	PAGOS	INTERESES	AMORTIZACIÓN PRINCIPAL	CAPITAL PENDIENTE
1/1/X1				5.000.000,00
31/12/X1		175.000,00*		5.175.000,00**
31/12/X2		207.000,00***		5.382.000,00****
31/12/X3	1.216.122,31	215.280,00*****	1.000.842,31	4.381.157,69
31/12/X4	1.216.122,31	186.199,20	1.029.923,11	3.351.234,58
31/12/X5	1.216.122,31	142.427,47	1.073.694,84	2.277.539,74
31/12/X6	1.216.122,31	96.795,44	1.119.326,87	1.158.212,87
31/12/X7	1.216.122,31	57.910,64	1.158.211,67	–

*5.000.000 x 0,035

**5.000.000 + 175.000

***5.175.000 x 0,04

****5.175.000 + 207.000

*****5.382.000 x 0,04

b) Intereses que deberá pagar el cuarto año.

Se puede obtener directamente de cuadro de amortización: 186.199,2€.

O desarrollarlo del siguiente modo:

I₄ = C₃ x i₄  (capital vivo al tras para la cuota del año 3 por el tipo de interés aplicable en el año 4)

C₃ = capital inicial + intereses año 1 no pagados por la carencia + intereses año 2 no pagados por la carencia – capital amortizado en el año 3 (M₃) = 5.000.000 + (5.000.000 x 0,035) + ((5.000.000 x 1,035) x 0,04) – 1.000.842,31 = 5.000.000 + 175.000 + 207.000 – 1.000.842,31 = 4.381.157,69

*M₃ = a – I₃ = 1.216.122,31 – [(5.000.000 + (5.000.000 x 0,035) + ((5.000.000 x 1,035) x 0,04)) x 0,04] = 1.216.122,31 – 215.280 = 1.000.842,31

I₄ = C₃ x i₄ = 4.381.157,69 x 0,0425 = 186.199,2€

c) Capital total amortizado hasta el final del quinto año:

Por la complejidad del desarrollo sin cuadro, se aconseja obtenerlo directamente del mismo: 5.000.000 – C5 (capital vivo al final del 5º año) = 5.000.000 – 2.277.539,74 (cuadro) = 2.722.460,26€

2. 

· Precio de compra: (100.000 x 4) + (150.000 x 2) + 50.000 = 750.000€.  

· Primer pago: 15% x 750.000 = 112.500€

· Pagos semestrales: se trata de una renta variable en progresión aritmética de razón 2.000. Por tanto, 

A = ((a1 + nxd + d/i) x an¬i) – nxd/i A = ((10.000 + 12 x 2.000 + 2.000 / 0,029563) x a12¬0,029563) – 12×2.000 / 0,029563 

A = 202.664,77€ 

Igualamos el precio de compra a todos los pagos anteriores y despejamos el importe actual correspondiente a los pagos mensuales: 

750.000 = 112.500 + pagos mensuales + 202.664,77 

Valor actual de los pagos mensuales: 434.835,23€

· Pagos mensuales:

A continuación, igualamos el valor actual de los pagos mensuales al valor actualizado de los mensuales, considerando la existencia de un semestre de carencia y un incremento semestral del 1%: 

i₁₂ = 0,0048675 

434.835,23 = [C₁₂ x a6/0,0048675 x (1 + 0,0048675)^(-5)] + [1,01C₁₂ x a6/0,0048675 x (1 + 0,0048675)^(-11)] = 5,757598559C₁₂ + 5,648198528C₁₂ = 11,40579709C12

C₁₂ = 38.124,05452€, coincidente con el segundo pago mensual 

Explicación de la fórmula para obtener el C₁₂

Lo que se trata es de igualar el valor actual del precio de los barcos, descontados los importes pagados al contado y aplazados mediante los 12 pagos semestrales de 10.000, con el valor actual de una renta mensual de 12 términos, con 6 meses de carencia, teniendo en cuenta que dentro de esos 12 términos tenemos que distinguir dos grupos (dentro de cada grupo, cada pago vale lo mismo): el primer grupo estaría integrado por las 6 primeras mensualidades, a las que llamamos C₁₂, y el segundo grupo por las 6 restantes mensualidades, a las que denotamos como 1,01xC₁₂ porque el enunciado nos dice que de un semestre para otro se produce un incremento de las mensualidades de un 1%.

El primer sumando, [C₁₂ x a6/0,0048675 x (1 + 0,0048675)^(-5)], se refiere por tanto a las 6 primeras mensualidades, y el segundo, [1,01C₁₂ x a_6/0,0048675 x (1 + 0,0048675)^(-11)], a las restantes 6 mensualidades. Como en cada sumando estamos agrupando 6 pagos, por eso multiplicamos por a_6/0,0048675, porque estamos aplicamos la fórmula del valor actual de una renta constante y pospagable: a_n/i = (1-(1+i)^(-n))/i. 

A su vez, cada sumando también lo estamos multiplicando por (1 + 0,0048675)^(-5) y (1 + 0,0048675)^(-11), lo que se debe a la existencia de una carencia de 6 meses. Si existe un semestre de carencia, y estamos a 1 de enero de X1, el primer pago mensual se realizará a los 6 meses, es decir, a 1 de julio de X1. Si aplicamos la fórmula de actualización de rentas pospagables antes referido, nos hemos traído el valor actual un periodo anterior a aquel en que se paga la primera renta, es decir, a 1 de junio de X1. Entre esta fecha y 1 de enero de X1 existen 5 meses. 

En el mismo sentido respecto del 2° sumando, existiendo 11 meses desde 1 de enero de X1 y 1 de diciembre del mismo año. 

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