ENUNCIADO
Siona desea comprarse un coche que cuesta 25.000 euros. Tiene en su banco 10.000 euros de ahorros. Sabe que puede invertirlos en una cuenta de ahorro que le paga un 3% de interés anual compuesto mensualmente. También tiene acceso a un préstamo que cobra un 5% de interés anual compuesto mensualmente y requiere pagos mensuales durante 4 años.
¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta bancaria después de 4 años si usa las siguientes estrategias?
1. Usa todos sus ahorros para pagar parte del precio del coche y financia el resto con el préstamo.
2. Usa parte de sus ahorros para pagar un 20% de entrada del coche y financia el resto con el préstamo. Invierte los ahorros restantes en la cuenta de ahorro.
3. Financia todo el precio del coche con el préstamo e invierte todos sus ahorros en la cuenta de ahorro.
SE PIDE:
¿Qué estrategia es la más ventajosa para Siona? Explique su razonamiento, mostrando los cálculos necesarios y apoyándose en ellos para su respuesta.
SOLUCIÓN
· Valor inicial de la inversión = 25.000 euros.
· Valor inicial de los ahorros = 10.000 euros.
· Rentabilidad cuenta de ahorro = 3% de interés anual compuesto mensualmente.
· Características préstamo = 5% de interés anual compuesto mensualmente, duración 4 años, presumo que las mensualidades son constantes.
De los datos facilitados sabemos que Siona cuenta con 10.000€ de capital inicial, y que al menos mensualmente dispone de una entrada de efectivo que le permite hacer frente a las mensualidades de un préstamo que tiene las características indicadas y con un valor máximo solicitado de 25.000 (opción 3). También sabemos que los importes que no use para financiar el coche puede invertirlos en una cuenta de ahorro que le da la rentabilidad arriba señalada.
Se trata por tanto de saber qué combinación es mejor, es decir, si le merece más la pena usar sus ahorros por completo y por tanto pagar menos préstamo (estrategia 1), si le conviene más invertir todos los ahorros y solicitar un préstamo por el total del precio del vehículo (estrategia 3), u optar por una solución intermedia (estrategia 2).
¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta bancaria después de 4 años si usa las siguientes estrategias?:
1. Usa todos sus ahorros para pagar parte del precio del coche y financia el resto con el préstamo:
· Importe préstamo = 25.000 – 10.000 = 15.000
· Interés préstamo = 5% de interés anual compuesto ——->
(1+i) = (1+i12)12
i12 = (1+i)1/12 = (1+0,05)1/12 – 1 = 0,004074 ——-> 0,4074% mensual
· Periodo préstamo = 4 años = 4×12 = 48 meses
· Mensualidad préstamo 15.000 (X1):
15.000 = X1 * [1 – (1 + 0,004074)-48] / 0,04074
X1 = 15.000 / 43,5181 = 344,68433€
Habíamos dicho anteriormente que Siona tenía una capacidad de pago igual al menos al de las mensualidades que le permitiesen hacer frente al mismo préstamo, pero por la totalidad del valor de la inversión (25.000), siendo por tanto el valor de dichas mensualidades el siguiente:
· Mensualidad préstamo 25.000 (X2):
25.000 = X2 * [1 – (1 + 0,004074)-48] / 0,04074
X2 = 25.000 / 43,5181 = 574,4737€
Por lo tanto, el hecho de que Siona gaste todos sus ahorros iniciales de 10.000 en la inversión, le va a permitir disponer mensualmente de un importe igual a la diferencia entre lo que le costaría el préstamo por 25.000 respecto de lo que le cuesta cuando solo financia 15.000: 574,4737 – 344,68433 = 229,7893€.
De este modo, el importe que Siona tendrá en el Banco al final de los 4 años bajo esta primera estrategia será igual al Valor Final de una renta mensual de 229,7893€ capitalizada al 3% de interés anual compuesto:
· Interés cuenta de ahorro = 3% de interés anual compuesto ——->
(1+i) = (1+i12)12
i12 = (1+i)1/12 = (1+0,03)1/12 – 1 = 0,00247 ——-> 0,247% mensual
· Valor final ahorro 1 = 229,7893 * [(1 + 0,00247)48 – 1) / 0,00247] = 11.695,05248€
2. Usa parte de sus ahorros para pagar un 20% de entrada del coche y financia el resto con el préstamo. Invierte los ahorros restantes en la cuenta de ahorro:
· Importe préstamo = 25.000 x 80% no financiado por ahorros = 20.000
· Mensualidad préstamo 20.000 (X3):
20.000 = X3 * [1 – (1 + 0,004074)-48] / 0,04074
X3 = 20.000 / 43,5181 = 459,57888€
Por lo tanto, el hecho de que Siona gaste parcialmente sus ahorros iniciales (se ha gastado 5.000, que salen de los 25.000 del valor total de la inversión menos los 20.000 que financia con el préstamo), le va a permitir disponer mensualmente de un importe igual a la diferencia entre lo que le costaría el préstamo por 25.000 respecto de lo que le cuesta cuando ascendiendo a 20.000: 574,4737 – 459,57888 = 114,8948€.
De este modo, el importe que Siona tendrá en el Banco al final de los 4 años bajo esta segunda estrategia será igual al Valor Final de un capital inicial de 5.000 (ahorro no invertido) más una renta mensual de 114,8948€ capitalizada al 3% de interés anual compuesto:
· Valor final ahorro 2 = 5.000*(1,00247)48 + 114,8948 * [(1 + 0,00247)48 – 1) / 0,00247] = 5.628,5493 + 5.847,533874 = 11.476,08317€
3. Financia todo el precio del coche con el préstamo e invierte todos sus ahorros en la cuenta de ahorro:
· Importe préstamo = 25.000
· Mensualidad préstamo (ya calculada más arriba): 574,4737€
Por lo tanto, el hecho de que Siona no gaste nada de sus ahorros iniciales (10.000), le va a permitir invertirlo todo en la cuenta de ahorro, mientras que no va a poder disponer de ningún importe adicional ya que el préstamo lo solicita por el máximo.
· Valor final ahorro 3 = 10.000*(1,00247)48 = 11.257,09855€
Conclusión: la estrategia más ventajosa para Siona es la número 1 porque es la que le permitirá disponer de más dinero en su Banco al final de los 4 años.
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